PNAS | 蛋白質折疊的非馬爾可夫模型

背景介紹

生物大分子功能依賴于發生在不同時間尺度上的耦合過程，對這種系統的理論描述具有一定挑戰性。對于蛋白質來說，折疊發生在微秒到數分鐘甚至數小時的范圍內，涉及到亞皮秒的鍵振動和水合運動。對于經典的相互作用多體系統動力學，嚴格的處理是基于劉維爾方程，并采用投影算子形式積分除一個或幾個反應坐標外的所有自由度。對于感興趣的可觀測物，動力學通常用很少的方程來描述而不是采用一個N個粒子系統的所有位置和動量的6N個運動方程。這個粗?；^程從確定性的哈密頓量引出了廣義朗之萬方程(GLE)的隨機描述，對于一維坐標q(t)的情況，表示為：

(1)

m是坐標q的有效質量。平均力場U(q)對應蛋白質的折疊自由能圖景，是通過平衡概率分布ρ(q)通過U(q)=?k_BTln ρ(q)得到的，其中k_BT是熱能，k_B是波爾茲曼常數，T是絕對溫度。自由度的消除引入了記憶函數Γ(t)的非馬爾可夫效應，該函數描述了隨時間變化的摩擦，從而將當前的動力學與過去的狀態耦合起來，以及隨機力FR(t)的隨機效應。在平衡時，隨機力FR(t)通過波動-耗散定理

與Γ(t)相關。公式1中GLE的推導依賴于幾個近似。因此，對于給定的反應坐標是微觀坐標的非線性函數，不能保證公式1的有效性。

通過模擬可以直接得到的折疊自由能U(q)也可以從單分子實驗中得到。但是，實驗觀察到的反應坐標不能保證是一個好的反應坐標。為了有效描述蛋白質折疊模擬，作者提出了不同的反應坐標。作為一種替代連續反應坐標的方法，馬爾可夫模型用一組亞穩態描述蛋白質動力學，對于這組亞穩態，通常需要完全訪問底層的微觀坐標。這類方法都尋求最小化記憶效應的描述，以便應用隨機馬爾可夫理論。

在相反的方向上，人們開發了各種方法來從給定反應坐標的時間序列數據中提取記憶函數Γ(t)，但由于GLE的復雜性，特別是非線性蛋白質折疊自由能與數字決定的記憶功能的結合，阻止了GLE對蛋白質折疊時間的預測。這就是為什么在蛋白質折疊理論中，主要使用馬爾可夫朗之萬方程(LE)，其中記憶積分被瞬時摩擦項取代。這種馬爾可夫理論為蛋白質折疊動力學提供了許多有用的見解，并在轉換路徑時間和平均折疊時間的比較中達到了高點。然而，自由能折疊理論在馬爾可夫水平上的成功部分依賴于摩擦這一事實，它決定克雷默折疊時間的前因子，通常被用作擬合參數。即使允許摩擦隨反應坐標變化并從模擬中提取，它通常也是根據折疊或重新配置時間計算的，這是通過構造實現動力學的自洽預測。事實上，最近的實驗表明，直接測量的自由能勢壘高度與由轉換路徑和折疊時間推斷的高度存在顯著的不一致，這可能是由于記憶效應引起的。當反應坐標的摩擦不適合折疊時間，而是直接從模擬軌跡中提取并在馬氏理論框架中使用時，也會得到同樣的不一致性。

主要內容

德國柏林自由大學的Roland R. Netz團隊提出了一個新方法，不是尋找一個好的反應坐標，而是使用一個由原生接觸的分離之和組成的標準一維坐標。相關的研究成果以?“Non-Markovian modeling of protein folding”?為題發布在國際著名期刊Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America上。

作者使用精確的工具從分子動力學(MD)模擬水中螺旋形成的多肽Ala₉中提取GLE的所有參數。接著在基于天然氫鍵距離和的一維反應坐標的α-螺旋形成多肽丙氨酸9的分子動力學(MD)模擬中，研究者提取了廣義朗之萬方程(GLE)的兩個組成部分——折疊自由能場和隨時間變化的摩擦函數。自由能U(q)顯示出由低勢壘分隔的多次極小值，表明螺旋的順序形成，而多指數記憶函數Γ(t)最長衰減時間與展開時間的順序相同。這些特性使Ala₉成為一個非常敏感的動力學理論測試物。研究者用馬爾可夫嵌入技術模擬得到了GLE，通過對平均折疊和展開時間的MD和GLE結果的比較，研究者證明了一維GLE是一種準確實用的描述蛋白質折疊動力學的工具。

另一方面，只要摩擦不是一個擬合參數而是從MD模擬中提取的參數，則過阻尼GLE的馬爾可夫版本就不能描述肽的折疊和展開動力學。正如Grote-Hynes理論所預測的那樣，記憶通常會加速勢壘穿越，其中加速度大小主要取決于記憶時間的比例以及反應坐標空間中最小值與勢壘之間的距離。這種由記憶引起的折疊和展開加速在反應坐標空間中伴隨著明顯的異常擴散。研究者的結果被系統的克雷默-莫亞爾系數(KMC)分析所證實，該分析表明高階四次KMC是不可忽略的，線性和二次KMC在短時間內消失，正如預期的非馬爾可夫效應的存在。這意味著，用?？?普朗克方程描述蛋白質折疊只在需要適當選擇的特定時間尺度上有效。研究者還發現，當使用馬氏模型描述非馬氏蛋白質動力學時，會出現虛假的反應坐標依賴的摩擦分布。

從數值積分得到的GLE的折疊和展開時間與MD的結果吻合較好，證明了基于GLE的非馬爾可夫模型的穩健性。相比之下，馬爾可夫模型不能準確地描述肽動力學，特別是，即使使用空間依賴的摩擦輪廓，也不能同時再現折疊和展開動力學。研究者的方法原則上適用于任何反應坐標，也適用于單分子實驗的實驗軌跡。該研究結果表明，蛋白質折疊動力學的一致描述必須考慮記憶摩擦效應。

MD和GLE模擬的對比

GLE的數值積分直接通過馬爾可夫嵌入實現。在圖1A中，研究者展示了展開時平均首次通過時間τMFPT(qS, qF)的分布(起始位置q_S=q_L=0.32 nm；實線)和折疊動力學(起始位置q_S = q_R =0.99 nm；折線)作為最終位置q_F的函數。MD和GLE模擬結果(藍色線和橙色線)吻合得很好；這表明基于GLE的蛋白質折疊非馬爾可夫模型是可行和準確的。甚至GLE和MD模擬的首次通過時間分布，都得到了令人滿意的一致性。?

圖1. 相關模擬數據。表格來源于PNAS

摩擦效應

為了證明圖2B中的摩擦輪廓的局限性，研究者在圖2C中顯示了γ_unf(q)(實心圓)和γ_foll(q)(空心圓)計算的MFPT折疊和展開輪廓。通過構造，使用γ_unf (q)的MFPTs再現了展開模擬數據，而使用γ_foll(q)的MFPTs再現了折疊模擬數據。相比之下，使用γ_unf(q)的MFPTs不能再現模擬的折疊時間，使用γ_foll (q)的MFPTs不能再現模擬的展開時間，特別是當折疊/展開時間小于10 ns時。相反，GLE模型(虛線)再現了折疊和展開MD動力學(實線)。這就強調了用馬爾可夫模型來描述完全的折疊/展開動力學是不一致的。

圖2. 摩擦效應相關的研究。表格來源于PNAS

結論總結

本文通過從顯式水分子動力學模擬中提取多肽Ala9的時間依賴性摩擦，證明所得到的GLE模型可以直接進行數值積分，非常準確地再現了分子動力學模擬的折疊和展開動力學。該發現并不局限于基于天然氫鍵間距離之和的反應坐標。在保持摩擦系數(即記憶函數積分)不變的情況下，減小GLE中的記憶時間，折疊和展開事件的折疊動力學發生了顯著變化。這表明記憶效應甚至對單個α-螺旋的形成動力學也很重要。

參考文獻

Cihan Ayaz, Lucas Tepper, Florian N. Brünig, Julian Kappler, Jan O. Daldrop, Roland R. Netz, Non-Markovian modeling of protein folding, Proceedings of the National Academy of Sciences Aug 2021, 118 (31) e2023856118; DOI: 10.1073/pnas.2023856118.